論文：模糊不確定性對二叉樹期權(quán)定價(jià)的影響

論文：模糊不確定性對二叉樹期權(quán)定價(jià)的影響

摘要：Co*等（1979）首先給出精確二叉樹期權(quán)定價(jià)模型。但考慮到金融市場的復(fù)雜性和人類的模糊性思維習(xí)慣，實(shí)際的決策問題常常帶有模糊性，因此本文運(yùn)用模糊集合論討論期權(quán)定價(jià)，給出期權(quán)價(jià)格的上限和下限，進(jìn)而得到模糊期權(quán)價(jià)格。這樣投資者可以把實(shí)際的價(jià)格和自己的模糊價(jià)格相比較，從而決定是否進(jìn)入市場或進(jìn)入多/空頭。
關(guān)鍵詞：二叉樹模型；模糊期權(quán)定價(jià)；模糊集合論
中圖分類號(hào)：F830

0 引言
期權(quán)作為一種重要的衍生產(chǎn)品一直受到關(guān)注。Co*，Ross和Rubinstein（1979）首先給出二叉樹期權(quán)定價(jià)模型，盡管此模型所涉及的數(shù)學(xué)不深，但模型隱含的經(jīng)濟(jì)意義卻十分重要，因而成為衍生產(chǎn)品定價(jià)的基本方法之一。
Co*等假設(shè)下一期股票價(jià)格只存在兩種運(yùn)動(dòng)方式：上升到或下降到某一精確點(diǎn)，然后應(yīng)用無套利定價(jià)方法給出期權(quán)的價(jià)格。但實(shí)際中，我們經(jīng)常聽到的是“股票價(jià)格將上升或下降*%左右”，即由于模糊不確定性（或稱為Knight不確定性）的存在，實(shí)際的金融市場只被定義為“熊市”或“牛市”，下一期股票的具體價(jià)格并沒給定一個(gè)精確值。這樣單純的概率論方法無法解決這種類型的不確定性，因此我們應(yīng)用模糊集合論來解決這種模糊不確定性
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范圍。當(dāng)模糊不確定性為時(shí)，我們有。
結(jié)論1。是單調(diào)減函數(shù)，是單調(diào)增函數(shù)。且，當(dāng)（即沒有模糊不確定性）時(shí)，==。
因此稱和分別為模糊不確定性為的上升下限、上升上限，或悲觀上升率、樂觀上升率。其實(shí)區(qū)間[，]就是模糊數(shù)的截集。當(dāng)投資者的模糊不確定性小于時(shí)，對應(yīng)的上升比例就是這個(gè)區(qū)間里的某個(gè)值。并且區(qū)間[，]長度隨的減小而縮小，當(dāng)時(shí)，有唯一的上升率，回到經(jīng)典的定價(jià)方法。
對于的模糊程度，也可以給出關(guān)于的類似的模糊隸屬度，以及和。為計(jì)算簡單，我們采用一般的取值辦法： ，，稱和分別為模糊不確定性為的下降上限、下降下限，或樂觀下降率、觀悲觀下降率。當(dāng)投資者的模糊不確定性小于時(shí)，對應(yīng)的下降比例就是區(qū)間[，]里的某個(gè)值。
結(jié)論2。根據(jù)我們的取值，有，。

圖1 和的模糊數(shù)
根據(jù)無套利定價(jià)方法，股票價(jià)格上升和下降的權(quán)重應(yīng)該滿足

因此，。
結(jié)論3。1），；
2）當(dāng)時(shí)，是的單調(diào)減函數(shù)，進(jìn)而是單調(diào)增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，是的單調(diào)減函數(shù)，進(jìn)而是單調(diào)減函數(shù)。
1.1 三角模糊數(shù)單期二叉樹看漲期權(quán)定價(jià)模型：
根據(jù)無套利定價(jià)方法，兩種權(quán)重時(shí)的單期看漲期權(quán)的價(jià)格分別為，
，
其中和，。為敲定價(jià)格。
取，
結(jié)論4。當(dāng)時(shí)，是的單調(diào)增函數(shù)，進(jìn)而是的單調(diào)減函數(shù)；是的單調(diào)增函數(shù)，進(jìn)而是單調(diào)增函數(shù)。這時(shí)，故，。
稱和分別為模糊不確定性為的看漲期權(quán)下限、上限。下限、上限構(gòu)成價(jià)格區(qū)間[，]，當(dāng)模糊不確定性小于時(shí)，看漲期權(quán)的價(jià)格就應(yīng)該是這個(gè)區(qū)間里的某個(gè)值。
不同于經(jīng)典模型的唯一價(jià)格，我們得到一個(gè)價(jià)格區(qū)間。不同投資者可以把實(shí)際的價(jià)格和自己的模糊價(jià)格相比較，從而決定是否進(jìn)入市場或進(jìn)入多/空頭。類似于統(tǒng)計(jì)學(xué)中的區(qū)間估計(jì)，我們實(shí)際給出了不確定性為的期權(quán)價(jià)格置信區(qū)間。
結(jié)論5。當(dāng)時(shí)，，即模糊不確定性減小時(shí)，區(qū)間[，]的長度隨之減小，當(dāng)時(shí)，==。
結(jié)論6。以上定價(jià)方法形成的期權(quán)價(jià)格可以表示為模糊集。
證明：當(dāng)把看成自變量是的映射，則是一個(gè)集合套，根據(jù)模糊表現(xiàn)定理，就是一個(gè)模糊集。
這樣，我們稱由以上定價(jià)方法形成的期權(quán)價(jià)格為模糊期權(quán)價(jià)格。
1.2 三角模糊數(shù)期二叉樹期權(quán)定價(jià)模型：
根據(jù)無套利定價(jià)方法，兩種權(quán)重時(shí)的期看漲期權(quán)的價(jià)格分別為，


如果取，，則


（設(shè)，顯然 ）
其中


其中，（顯然）。
取，
類似于前面單期時(shí)的分析，我們得到一個(gè)期權(quán)價(jià)格區(qū)間[，]。不同投資者可以把實(shí)際的價(jià)格和自己的模糊價(jià)格相比較，從而決定自己的投資策略。
對T期，從數(shù)值分析也有，當(dāng)時(shí)，，即模糊不確定性減小時(shí)，區(qū)間[，]的長度隨之減小，當(dāng)時(shí)，==。這樣，由模糊表現(xiàn)定理，這時(shí)的也是一個(gè)模糊集。因此T期期權(quán)價(jià)格同樣為模糊期權(quán)價(jià)格。
2 數(shù)值分析
考慮一支6個(gè)月有效期的歐式看漲期權(quán)，股票現(xiàn)價(jià)為42，期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格為40，無風(fēng)險(xiǎn)利率為每年10%，波動(dòng)率為每年20%。根據(jù)Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式得到歐式看漲期權(quán)的價(jià)格為4.76。（[7]中例10.6）
單期：把6個(gè)月看成一期，因此，半年的無風(fēng)險(xiǎn)利率為5%。取， 三角模糊數(shù)下單期的和如圖2。


圖2 單期模糊期權(quán)價(jià)格

圖3 多期模糊期權(quán)價(jià)格
多期：把每個(gè)月看成一期。因此，每月的無風(fēng)險(xiǎn)利率為0.8333%。取，三角模糊數(shù)下多期的和如圖3。
從圖2、圖3我們看到，模糊期權(quán)隨代表模糊性的參數(shù)的變化情況。各曲線的上半部分可以作為多頭買價(jià)，下半部分為空頭賣價(jià)。依據(jù)圖形，投資者可以決定買進(jìn)還是賣出。
3模糊期權(quán)的經(jīng)濟(jì)意義分析
金融市場的復(fù)雜性和人類思維的模糊性，使得以精確化的方法得到的精確定價(jià)模型與實(shí)際產(chǎn)生了偏離，導(dǎo)致了各種“迷”的出現(xiàn)。本文運(yùn)用模糊集合論分析期權(quán)的價(jià)格。
鑒于人們的模糊思維習(xí)慣，投資者對股價(jià)上升或下降的比例存在一定的模糊性，就形成了期權(quán)價(jià)格的上限和下限，根據(jù)模糊集合論，我們得到了模糊期權(quán)價(jià)格。期權(quán)價(jià)格模糊區(qū)間的上限和下限分別為期權(quán)買賣雙方的保留價(jià)格，即期權(quán)買方愿意買入的最高價(jià)格為期權(quán)價(jià)格上限；而期權(quán)賣方愿意賣出的最低價(jià)格為期權(quán)價(jià)格下限。當(dāng)投資者的預(yù)期與市場一致時(shí)，他不會(huì)進(jìn)入市場交易，處于觀望期；當(dāng)投資者的預(yù)期大于市場價(jià)格時(shí)，他認(rèn)為市場被低估，于是進(jìn)入交易空方；相反，當(dāng)投資者的預(yù)期低于市場價(jià)格時(shí)，他認(rèn)為市場被高估，于是進(jìn)入交易多方。當(dāng)多空雙方力量基本一致時(shí)，實(shí)際價(jià)格有 ……（未完，全文共4681字，當(dāng)前僅顯示2364字，請閱讀下面提示信息。收藏《論文：模糊不確定性對二叉樹期權(quán)定價(jià)的影響》）