應用幾何變換解題的教學研究

應用幾何變換解題的教學研究
提示：本文原版含圖表word版全文下載地址附后（正式會員會看到下載地址）。這里只復制粘貼部分內容或目錄（下面顯示的字數不代表全文字數）,有任何不清楚的煩請咨詢本站客服。

摘要：幾何變換則是從運動、變化的觀點來研究幾何圖形及其性質，利用幾何變換解決平面幾何問題往往更直觀、更形象，且能多種角度培養(yǎng)學生的空間觀念。在初中階段，幾何變換與傳統(tǒng)幾何方法并重，更有利于培養(yǎng)學生思維的靈活性和敏捷性，如果再結合傳統(tǒng)演繹幾何的處理方法，則可以收到極好的教學效果。

關鍵詞：幾何變換，運動，變化，平移，旋轉，軸對稱，位似，演繹推理

一、初中階段學習幾何變換的意義
新課程“空間與圖形”部分主要研究的是現實世界中的物體和幾何圖形的形狀、大小、位置關系及其變換.它在強調培養(yǎng)學生推理論證能力的同時，更多地強調用直觀和非形式化的手段去認識和描述生活空間，教學內容緊密聯系學生生活和社會發(fā)展，使學生通過直接感受去理解和把握空間關系，并進行交流.
當不同層次的學生親自動手操作實驗(如畫圖、折紙)時，他們首先在直觀感知的基礎上認識軸對稱、平移、旋轉(中心對稱)、位似等變換，然后借助直觀的圖形變換探索出圖形的幾何性質，使靜止的圖形在頭腦中動起來，這樣的
……（新文秘網http://m.jey722.cn省略889字，正式會員可完整閱讀）……　
一個新的位置,從而把比較分散的已知條件集中到一起。當題目中含有線段等量關系、平行四邊形等條件時，都可以考慮用平移的方法來處理。
例3 如圖4，在一條河的兩岸分別有A，B兩滴，現要設計一條道路，并在河上架子起垂直于河岸的一座橋，用來連結A、B兩地，問橋應建在何處，請畫出你的設計圖。
分析: 此題要求A、B之間的最短路線，設橋為CD，從A到B所走的路線是A-D-C-B，要使路線最短，只需AD+BC最短即可，此時AD、BC應在同一平行方向上，可通過平移的知識，圖形變換的思想使問題得以解決。
解析 過A作河岸的垂線，使AA’等于河岸的距離，連結A’B與河岸交于C點，過C作另一岸的垂線，垂足為D點，則A-D-C-B就是所求的路線

圖4
例4 如圖5,四邊形ABCD中,AD∥BC,∠B與∠C互余,點M、N分別是AD、BC的中點,試證明MN= (BC-AD ) 圖（5）
分析：線段MN、BC、AD比較分散,沒集中在一個三角形中,由于AD∥BC,所以可以添加輔助線，分別將兩腰AM、DM進行平移，集中到同一個三角形再加以證明。 本題主要是利用平移的方法找到解題思路，化難為易。
解：過M分別作ME∥AB，MF∥DC交BC于點E,點F ， 則可證得平行四邊形AMEB和平行四邊形MDCF,∴AM=MD=BE=FC= AD, 得EF= BC-AD
又 得 =90°
∴MN= EF= (BC-AD )
教學探究：
（1）借助平移變換可將將角、線段移到適當的位置，集中在同一個圖形中，使問題得以解決。但是為了方便演繹推理的書寫，輔助線的作法可借助平移變換的思想找到。
(2) 在利用平移變換解決問題時，要注意引導學生清晰地表述平移對象、平移方向、平移長度等，注重培養(yǎng)學生的圖形表達能力和符號表達能力.
2.2旋轉變換





在平面內，將一個圖形繞一個定點，沿某個方向轉動一個角度，這樣的圖形運動叫做圖形的旋轉。圖形的旋轉具有如下特征：旋轉不改變圖形的形狀和大小； 經過旋轉, 圖形中每一點都繞著旋轉中心按同一旋轉方向旋轉了同樣大小的角度，對應點到旋轉中心的距離相等，對應線段相等，對應角相等。
由于旋轉前后的圖形是全等圖形，因此可以利用旋轉變換構造全等圖形，從而解決線段相等或角度相等的問題. 當圖形的背景有出現正邊形、正三角形、菱形、等腰三角形圓、正多邊形等時，都可以考慮使用旋轉變換.特別地，當題目中出現中點、平行四邊形等條件時，還可以考慮使用中心對稱的方法。
例5 如圖6，已知：在四邊形ABCD中，∠MAN的兩邊分別交CB，DC于點M,N,且BM≠DM若四邊形ABCD是正方形，∠MAN=45°，求證：BM+DN=MN




分析: BM與DN這兩條線段比較分散，可通過
幾何變換構造BM+DN的線段�？紤]到正方形中
AD=AB及BM、DN的位置，想到了旋轉。將△ABM
繞點A逆時針旋轉90°，得到與其全等的△ADE,
成功構造BM+DN=EN,再證明EN=MN 圖6
證明：將△ABM繞點A逆時針旋轉90°，由于AD=AB，∴B與D重合，旋轉后得到△ADE，則△ABM≌△ADE，則BM=DE,由于 ，則E、D、N在同一直線上，所以BM+DN=EN，再證明△AMN≌△AEN可得EN=MN




例6 如圖7:在梯形ABCD中，AB∥CD,點F為BC的中點，DF⊥AF,
求證：DF平分∠ADC,AF平分∠DAB
分析:題目出現中點，且AB∥DC,可將△ABF繞F點旋轉180°，
由于BF=FC,所以B與C重合，旋轉后得△EDF,即△ABF與△EDF 圖7
成中心對稱，則△ABF≌△EDF，由于 ，則點D、點C、點E在同一直線上，再證明△ADF≌△EDF即可證出結論。
教學探究：思考問題時可以利用旋轉變換構造全等圖形，集中問題的已知條件，從而解決線段相等或角度相等等問題。利用旋轉變換解題時，應引導學生學會規(guī)范表述，如強調旋轉中心、旋轉角度、旋轉方向，交代對應點，然后列出對應的相等線段等.
2.3軸對稱變換（中心對稱）
……（未完，全文共4944字，當前僅顯示2497字，請閱讀下面提示信息。收藏《應用幾何變換解題的教學研究》）